留学中介最怕投诉的部门或机构包括：

工商部门 ：对于无资质的留学中介，工商部门介入会因为其营业执照中没有办理留学一项而显得尤为担忧。如果投诉问题无法协商解决，可以带工商部门的人员介入处理。

行业协会：

留学中介机构可以自愿加入行业协会，但如果出现严重问题，行业协会有权对其进行警告、罚款甚至开除会员等处罚措施。此外，行业协会还可以帮助中介机构宣传品牌、推广业务，建立良好口碑。

政府机构

教育行政部门：

负责留学中介机构的管理和规范，确保其运作合法性和服务的真实性。对于不合规行为，教育行政部门会进行整顿、取缔，并追究法律责任。

商务部门：负责外贸和对外经济合作，关注留学市场的发展趋势和留学中介企业的问题。对于不合格的中介机构，商务部门会严厉打击违法犯罪行为，如欺诈、虚假宣传和违规收费等。

消费者保护委员会：

在中国，消费者可以向当地的消费者权益保护委员会举报，该机构负责受理和处理消费者的投诉。

Better Business Bureau （BBB）：

在美国，留学生可以查询当地的BBB，了解留学中介的信誉和投诉记录，以此作为选择中介的参考。

法律途径：

如果留学生通过投诉仍未解决问题，或者留学中介的行为给留学生造成了重大损失，可以寻求法律帮助。律师可以提供专业的法律建议和支持，特别是在涉及跨国转账或其他金融犯罪问题时。

综上所述，留学中介最怕投诉的部门或机构主要是工商部门、行业协会、政府机构（包括教育行政部门和商务部门）、消费者保护委员会以及法律途径。建议留学生在遇到问题时，首先尝试与留学中介协商解决，如果无法解决，再向上述机构投诉或寻求法律帮助。