如果你已经完成了日本的留学学业并希望继续在日本停留半年，以下是一些可能的合法途径：

更新留学签证

如果你已经大学毕业并希望继续在日本学习，可以申请研究生（大学院）并办理入学手续，从而更新你的留学签证。这样你可以合法地在日本停留更长时间。

申请特定活动签证

专门针对在日本大学毕业或专门学校毕业的留学生，可以申请特定活动签证，目的是在日本找工作。这种签证每次允许停留6个月，并且可以申请延长一次，即总共可以停留一年。

申请归国困难签证

如果你因为某些原因无法立即回国，例如买不到机票，你可以向入管局申请归国困难签证。这种签证通常需要提供相关证明，例如航班取消或机票退票的证据，并且第一次通常给予6个月的在留期限，之后可以根据情况再延长。

变更为短期滞在签证

如果你已经找到工作，可以申请短期滞在签证。这种签证通常需要有充分的理由，例如面试通知等，一般可以申请到3个月左右的在留时间。

建议

提前规划：确定你希望在日本停留的具体原因（如找工作、继续学习等），并提前了解相关签证申请所需的时间和材料。

咨询专业机构：在申请签证前，建议咨询专业的留学顾问或入管局，以确保你的申请过程顺利并符合所有要求。

准备充分：确保你提供的所有材料真实有效，以便顺利通过入管局的审核。

通过以上途径，你可以在日本合法地停留半年或更长时间。选择哪种方法取决于你的具体情况和目标。