赵默笙出国留学的原因是多方面的，主要包括以下几点：

家庭变故：

赵默笙的父亲赵清源贪污的事情被曝光，为了避免女儿受到牵连，以及保护女儿的形象，赵清源安排赵默笙去美国，并告诉她只是去玩几天。

感情问题：

赵默笙与何以琛的感情受到了挑战。何以琛的妹妹何以玫向赵默笙表白，并且何以琛在得知赵默笙父亲是间接凶手后，对赵默笙表示愤怒，声称宁愿从未认识她。

逃避现实：

赵默笙在家庭和感情的双重打击下，感到无力面对，选择了逃避，同意父亲去美国，希望以此远离国内的纷扰。

个人发展：

赵默笙也有提升自己，寻求新生活的愿望。她希望通过出国留学接触更广泛的知识和文化，提升自己的学术水平和思想境界，同时也为了在事业上获得更好的发展机会。

父亲控制：

赵默笙的父亲出于对她的保护，甚至藏起了她的护照，限制她的回国自由，这从另一方面也促使了赵默笙的出国留学。

综合上述原因，赵默笙的出国留学是一个由多重因素导致的决策，既有外部环境的影响，也有个人内心的驱动。