华罗庚的出国留学经历如下：

初中学历与自学成才 ：华罗庚仅拥有初中文凭，但他通过自学成才，在1924年发表的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》震惊了数学界，从而获得了进入清华大学工作的机会。

清华大学与英国剑桥大学

1930年，华罗庚开始在清华大学数学系工作，并在此期间自学了高中和大学的数学课程。

1936年，华罗庚作为访问学者前往英国剑桥大学深造，在剑桥期间，他发表了多篇有重要学术价值的学术论文，并得出了著名的华氏定理。

美国留学与任教

1946年，华罗庚受邀前往美国，任普林斯顿数学研究所研究员和普林斯顿大学教授。

1948年，他被伊利诺伊大学聘为教授。

回国报效

1949年，中华人民共和国成立后，华罗庚毅然放弃在美国的优厚待遇，回到祖国，担任清华大学数学系主任。

在西南联大期间，他因抗日战争需要，利用自己的数学天赋成功破译了一些密电密码，为抗战胜利做出了贡献。

华罗庚的留学经历不仅丰富了他的学术生涯，也使他成为了中国乃至世界数学领域的重要人物。他的一生都在为数学事业和国家的科技发展做出贡献。