在清朝时期，出国留学主要受到洋务运动的影响，其目的是学习西方的先进科技以振兴中华。以下是一些主要的留学途径和事件：

幼童留美计划

1870年，容闳向清政府提出选派少年出洋留学的计划，计划每年派30人，4年共派出120人，在美国设立留学生事务所，管理留学生的学习和生活，经费从海关收入中拨出。

1872年8月11日，第一批30名幼童启程赴美，开始了长达十五年的留学生活。这些幼童在美国接受从小学到大学的教育，学习军政、船政、步算、制造诸学。

到1881年，由于守旧派官僚的攻击，清政府决定裁撤留美计划，下令所有留美学生全部撤回。最终，只有詹天佑等2人完成学业并获得学士学位。

船政学堂学生留欧

1873年，福建船政大臣沈葆桢奏准选派船政学堂学生分赴英法学习造船、驾驶。此后，在1877年、1881年、1886年、1897年，又先后四次派出留英、留法、留德学生，总计八十五名。

这些留学生回国后，成为中国造船工业、海军建设等方面的重要骨干，著名人物有严复、刘步蟾、林泰曾、萨镇冰、魏瀚、刘冠雄等。

使馆学生

19世纪末年，清政府还派遣了少量的“使馆学生”。1890年，总理各国事务衙门奏准驻英法俄德美五国公使每届任期内可常留学生两名，共十名。1895年，又奏准派赴英法俄德留学生各四名，共十六名，留学费用也由使馆拨给。

20世纪初的留学热潮

从20世纪初开始，清政府大力提倡青年学生出国留学，并许诺留学归来分别赏予功名、授以官职。这导致留学国别几乎遍及全欧，包括英、法、德、比、俄、奥等国。

这一时期的留学生中大有成就者如翁文灏、吴稚晖、蔡元培、厉麟似、李石曾、张静江等。此外，还有20多名女学生冲破封建礼教投入了留法勤工俭学的行列。

总结起来，清朝的出国留学途径主要包括幼童留美、船政学堂学生留欧、使馆学生以及20世纪初的留学热潮。这些留学生回国后，为中国的现代化和工业化做出了重要贡献。