出国留学最便宜的阶段主要取决于个人的经济状况、语言学习能力、以及留学目的。以下是一些建议：

初中阶段（7-15岁）

语言学习黄金期：孩子在初中阶段的语言学习能力较强，能够快速掌握外语，并且具备一定的独立生活能力。

独立性和文化适应：虽然这个年龄段的孩子在生活上可能还需要父母的支持，但提前适应独立生活和文化差异有助于他们未来更好地融入国际社会。

经济考虑：初中阶段出国留学可以较早地开始语言学习和文化适应，但家庭需要承担较高的经济费用。

高中阶段（12-15岁）

语言接受能力：孩子在高中阶段的语言接受能力仍然较强，能够在较短时间内掌握外语，并且具备较强的逻辑思维能力，能够更好地理解学术内容和文化差异。

心理成熟度：这个年龄段的孩子心智更加成熟，能够在新环境中建立自我认知和生活能力，较少出现依赖性和适应困难的问题。

经济考虑：相对于本科或研究生阶段，高中阶段出国留学的经济压力相对较小，但家庭仍需承担一定的经济费用。

本科阶段（18-22岁）

成熟的心智：本科阶段的学生心智更加成熟，能够独立处理生活和学习中的挑战，并且具备较高的自我控制能力。

丰富的学术经历：通过本科学习，学生可以获得更全面的学术训练和视野，为未来的职业规划和大学申请打下坚实基础。

经济考虑：本科阶段留学费用相对较高，对家庭经济条件有一定要求。

研究生阶段（22岁以上）

专业深化：研究生阶段可以让学生在特定领域进行更深入的学习和研究，提升专业素养和竞争力。

经济考虑：虽然研究生阶段的学费和生活费相对较高，但长期来看，留学经历可以带来更高的职业回报。

建议

提前规划：提前购买机票、选择淡季航班、考虑目的地的季节性因素等，都可以有效降低留学成本。

选择经济实惠的国家：如东欧的波兰、匈牙利和保加利亚，东南亚的泰国和马来西亚，以及拉丁美洲的阿根廷和墨西哥，这些国家的生活成本和学费相对较低，性价比较高。

考虑奖学金和助学金：申请奖学金和助学金可以显著减轻留学经济负担。

兼职工作：在国外留学期间，可以通过兼职工作来补贴生活费用。

综合考虑以上因素，初中和高中阶段出国留学相对较为便宜，但具体经济负担还需根据家庭经济状况和留学目的来评估。