办理出国留学相关事务的主要部门包括：

留学基金委：

负责处理海外学位认证等事务，同时也是选拔优秀学生参与公派留学的奖学金发放机构。

教育部：

作为国家公派留学的主要主管机关，教育部负责国家公派留学政策的制定以及相关项目的组织和管理工作。教育部还会委托国家留学基金管理委员会（CSC）来实际操作国家公派留学的具体事务。

国家移民管理局：

隶属公安部管理，相关出入境政策对中国留学生出国、回国与学生流动等将产生重要影响。

中国民用航空局：

由交通运输部管理，其国际航班政策及调控措施对国内外人员流动至关重要。

当地工商部门：

负责监管留学机构的注册和运营，确保其合法经营。

当地教育部门：

负责监管留学机构的日常运营，处理留学相关的教育事务。

综上所述，出国留学机构主要受到留学基金委、教育部、国家移民管理局、中国民用航空局、当地工商部门和当地教育部门的管辖。留学申请人可以根据自己的需求选择自行办理或委托相关机构办理出国留学相关事务。